안녕하세요, 시원스쿨랩입니다.

동사 offer은 여러 의미를 가질뿐만 아니라 여러 형식으로도 사용할 수 있는 어휘이기 때문에 혼란이 발생하는 경우가 많으므로
다양한 예시를 통해 형태와 상황별 의미를 익히는 과정이 필요합니다.
문의 주신 선택지 (a) The man offers to cut the grass.에서 offer to의 의미는 한국어로 해석하면 정답이 되는 것처럼 느껴지지만 영어에서 사용되는 의미는 조금 다릅니다.
offer에 to가 함께 쓰일 경우, 질문에서 말씀하셨듯이 '~을 하겠다고 하다, ~을 권하다'는 의미를 표현하게 됩니다.
여기서 '~을 하겠다고 하다'는 의미가 명확하지만, '~을 권하다'는 상대방에게 무언가를 하라고 제안하다는 의미로 해석할 여지가 있는 것이 사실입니다.
그러나 여기서 '~을 권하다'는 청해 실전모의고사 해설지 29페이지의 25번 문제 어휘란에도 기재된 것과 같이(offer to do ~하겠다고 제안하다),
일반적으로 상대방에게 무언가를 하도록 제안하는 것이 아니라 본인이 무언가를 하겠다고 제안하는 것입니다.
두 가지 의미가 서로 다른 것이 아니라 상황에 따라 조금 다르게 표현한 것으로 생각하시면 됩니다.

청해 문제를 들으면서 곧바로 구분하기는 어려울 수 있지만,
offer과 함께 사용되는 전치사, 또는 offer이 사용되는 문장의 형식 등의 요소를 고려하셔서 연습하시면 도움이 될 것입니다.
회원님의 텝스 공부를 응원합니다.
감사합니다.