안녕하세요 조앤입니다. 미국에 있어서 답변이 좀 늦어서 죄송해요 ^^

shall은 할 것이다, 해야 한다는 의무, 강한 의지, 의도 뜻을 지닙니다.
비슷한 예로 비교하자면, will 이 단순 의지라면, shall 은 의무, 의도가 포함된 신념, 규칙에 쓸 수 있어요.

We will go there. 우린 거기 갈거야. (현재로선 갈 예정임)
We shall go there. 우린 거기 가게 될꺼야. (결국 가게 될 것임)
We should go there. 우린 거기 가야되 (아직 확신은 없지만 가긴 가야함)

Shall we begin now? 이제 시작해 볼까요?
회화로는 주로 we, I 주격에 주로 쓰이며, ~을 할까요? 라는 의미로 쓰이지만
고전 영어이고 딱딱한 의무적 느낌 때문에 규칙, 계약서 등에서 쓰이는 경향이 있습니다.

The truth shall set you free. 진실이 당신을 자유롭게 할 것 이다.
This time next week, I shall be in Korea. 다음주 이때쯤엔 분명 한국에 있을 것 이다.

현대 영어회화에선 "무엇을 ~ 하실까요? 처럼 공손한 버전으로 쓰이는 정도이며, 자주 쓰이지 않습니다.